En apollonsk pakning er en type fraktalbillede, der er dannet af en samling af stadigt krympende cirkler indeholdt i en enkelt stor cirkel. Hver cirkel i den apollonske pakning er tangent til de tilstødende cirkler - med andre ord, cirklerne i den apollonske pakning får kontakt på uendeligt små punkter. Opkaldt efter den græske matematiker Apollonius af Perga, kan denne type fraktal tegnes (i hånden eller ved computer) til en rimelig grad af kompleksitet og danne et smukt, slående billede. Se trin 1 herunder for at komme i gang.
Trin
Del 1 af 2: Forstå nøglebegreber
For at være helt klar, hvis du blot er interesseret i at tegne en apollonsk pakning, er det ikke vigtigt at undersøge de matematiske principper bag fraktalen. Men hvis du gerne vil have en dybere forståelse af apollonske pakninger, er det vigtigt at forstå definitionerne af flere begreber, vi vil bruge, når vi diskuterer dem.
Trin 1. Definer vigtige udtryk
Følgende udtryk bruges i vejledningen herunder:
- Apollonian Pakning: Et af flere navne til en type fraktal sammensat af en række cirkler, der er indlejret inde i en stor cirkel og tangerer alle andre i nærheden. Disse kaldes også "Soddy Circles" eller "Kissing Circles".
- Radius af en cirkel: Afstanden fra en cirkels midtpunkt til kanten. Normalt tildelt variablen r.
- Krumning af en cirkel: Radiusens positive eller negative inverse eller ± 1/r. Krumning er positiv, når man beskæftiger sig med den ydre krumning af cirklen og negativ for den indre krumning.
- Tangent: Et udtryk, der anvendes på linjer, planer og former, der skærer hinanden på et uendeligt lille punkt. I apollonske pakninger refererer dette til det faktum, at hver cirkel kun berører hver nærliggende cirkel på et enkelt punkt. Bemærk, at der ikke er noget skæringspunkt - tangentformer overlapper ikke.
Trin 2. Forstå Descartes sætning
Descartes sætning er en formel, der er nyttig til beregning af størrelserne på cirklerne i en apollonsk pakning. Hvis vi definerer krumninger (1/r) for alle tre cirkler som henholdsvis a, b og c, siger sætningen, at krumningen af cirklen (eller cirklerne) tangenter til alle tre, som vi vil definere som d, er: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Til vores formål vil vi generelt kun bruge det svar, vi får ved at sætte et plustegn foran kvadratroden (med andre ord… + 2 (sqrt (…)). For nu er det nok at vide, at subtraktionen formen for ligningen har sin anvendelse i andre relaterede opgaver
Del 2 af 2: Konstruktion af den apollonske pakning
Apolloniske pakninger har form af smukke fraktalarrangementer af krympende cirkler. Matematisk har Apollonian Pakninger uendelig kompleksitet, men uanset om du bruger et computertegningsprogram eller traditionelle tegneværktøjer, når du i sidste ende et punkt, hvor det er umuligt at tegne cirkler mindre. Bemærk, at jo mere præcist du tegner dine cirkler, jo mere vil du kunne passe i din pakning.
Trin 1. Saml dine digitale eller analoge tegneværktøjer
I trinene herunder laver vi vores egen enkle apollonske pakning. Det er muligt at tegne Apollonian Pakninger i hånden eller på computeren. I begge tilfælde vil du være i stand til at tegne perfekt runde cirkler. Dette er temmelig vigtigt. Da hver cirkel i en apollonsk pakning er fuldstændig tangent til cirklerne ved siden af, kan cirkler, der endda er lidt ujævne, "smide" dit endelige produkt.
- Hvis du tegner pakningen på en computer, skal du bruge et program, der giver dig mulighed for nemt at tegne cirkler med en fast radius fra et centralt punkt. Gfig, en vektortegningsudvidelse til det gratis billedredigeringsprogram GIMP, kan bruges, ligesom en lang række andre tegneprogrammer (se materialeafsnittet for relevante links). Du får sandsynligvis også brug for et lommeregnerprogram og enten et tekstbehandlingsdokument eller en fysisk notesblok til at tage noter om krumninger og radier.
- For at tegne pakningen i hånden skal du bruge en lommeregner (foreslået videnskabelig eller grafisk), en blyant, kompas, lineal (helst en skala med millimetermarkeringer, grafpapir og en notesblok til notering.
Trin 2. Start med en stor cirkel
Din første opgave er let - bare tegn en stor, perfekt rund cirkel. Jo større cirklen er, jo mere kompleks kan din pakning være, så prøv at lave en cirkel så stor som dit papir tillader eller så stor som du let kan se i et vindue i dit tegneprogram.
Trin 3. Opret en mindre cirkel inde i originalen, tangent til den ene side
Tegn derefter en anden cirkel inde i den første, der er mindre end originalen, men stadig ret stor. Den nøjagtige størrelse på den anden cirkel er op til dig - der er ingen korrekt størrelse. Men til vores formål, lad os tegne vores anden cirkel, så den når præcis halvvejs over vores store ydre cirkel. Med andre ord, lad os tegne vores anden cirkel, så dens centrale punkt er midtpunktet i den store cirkels radius.
Husk, at i apollonske pakninger tangenterer alle cirkler, der rører, hinanden. Hvis du bruger et kompas til at tegne dine cirkler i hånden, kan du genskabe denne effekt ved at placere kompassens skarpe punkt midt på den store ydre cirkels radius, justere din blyant, så den bare rører kanten af den store cirkel, derefter tegne din mindre indre cirkel
Trin 4. Tegn en identisk cirkel "på tværs af" den mindre indvendige cirkel
Lad os derefter tegne en anden cirkel på tværs fra vores første. Denne cirkel skal være tangent til både den store ydre cirkel og den mindre indre cirkel, hvilket betyder, at dine to indre cirkler vil røre ved det nøjagtige midtpunkt i den store ydre cirkel.
Trin 5. Anvend Descartes sætning for at finde størrelsen på dine næste cirkler
Lad os stoppe med at tegne et øjeblik. Nu hvor vi har tre cirkler i vores pakning, kan vi bruge Descartes sætning til at finde radius for den næste cirkel, vi tegner. Husk, at Descartes 'sætning er d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), hvor a, b og c er krumninger af dine tre tangentcirkler og d er cirkelens krumning, der tangerer alle tre. Så for at finde radius for vores næste cirkel, lad os finde krumningen af hver af de cirkler, vi har indtil nu, så vi kan finde krumningen i den næste cirkel og derefter konvertere denne til dens radius.
-
Lad os definere radius af vores ydre cirkel som
Trin 1.. Fordi de andre cirkler er inde i denne, har vi at gøre med dens indre krumning (snarere end dens ydre krumning), og derfor ved vi, at dens krumning er negativ. -1/r = -1/1 = -1. Den store cirkels krumning er - 1.
-
De mindre cirkels radier er halvt så store som den store cirkels, eller med andre ord 1/2. Da disse cirkler rører hinanden og den store cirkel med deres yderkant, har vi at gøre med deres ydre krumning, så deres krumninger er positive. 1/(1/2) = 2. De mindre cirkels krumninger er begge
Trin 2..
-
Nu ved vi, at a = -1, b = 2 og c = 2 for vores Descartes sætningsligning. Lad os løse for d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Krumningen af vores næste cirkel er
Trin 3.. Da 3 = 1/r er radius af vores næste cirkel 1/3.
Trin 6. Opret dit næste sæt cirkler
Brug den radiusværdi, du lige har fundet, til at tegne dine næste to cirkler. Husk, at disse vil være tangent til de cirkler, hvis krumninger du brugte til a, b og c i Descartes sætning. Med andre ord vil de være tangent til både den originale og anden cirkel. For at disse cirkler skal røre ved alle tre cirkler, skal du tegne dem i de åbne rum i toppen og bunden af området inde i din store originale cirkel.
Husk, at disse cirkels radier vil være lig med 1/3. Mål 1/3 tilbage fra kanten af den ydre cirkel, og tegn derefter din nye cirkel. Det skal være tangent for alle tre af de omgivende cirkler
Trin 7. Fortsæt på denne måde for at fortsætte med at tilføje cirkler
Fordi de er fraktaler, er Apollonian Pakninger uendeligt komplekse. Det betyder, at du kan tilføje mindre og mindre cirkler til dit hjertes indhold. Du er begrænset kun præcisionen af dine værktøjer (eller, hvis du bruger en computer, dit tegneprograms evne til at "zoome ind"). Hver cirkel, uanset hvor lille den er, bør være tangent til tre andre cirkler. For at tegne hver efterfølgende cirkel i din pakning skal du slutte krumningerne i de tre cirkler, den vil blive tangent til, i Descartes 'sætning. Brug derefter dit svar (som vil være radius for din nye cirkel) til at tegne din nye cirkel præcist.
- Bemærk, at pakningen, vi har valgt at tegne, er symmetrisk, så radius for en cirkel er den samme som den tilsvarende cirkel "på tværs fra den". Ved dog, at ikke alle apollonske pakninger er symmetriske.
-
Lad os tage endnu et eksempel. Lad os sige, at efter at have tegnet vores sidste sæt cirkler, vil vi nu tegne de cirkler, der er i kontakt med vores tredje sæt, vores andet sæt og vores store ydre cirkel. Krumningerne i disse cirkler er henholdsvis 3, 2 og -1. Lad os tilslutte disse tal til Descartes 'sætning og indstille a = -1, b = 2 og c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Vi har to svar! Men fordi vi ved, at vores nye cirkel vil være mindre end nogen af de cirkler, den tangerer, kun en krumning af
Trin 6. (og derfor en radius på 1/6) giver mening.
- Vores andet svar, 2, refererer faktisk til den hypotetiske cirkel på den anden side af tangentpunktet i vores anden og tredje cirkel. Denne cirkel er tangent til begge disse cirkler og til den store ydre cirkel, men det ville krydse de cirkler, vi allerede har tegnet, så vi kan se bort fra det.
Trin 8. Ved en udfordring kan du prøve at lave en ikke-symmetrisk apollonsk pakning ved at ændre størrelsen på din anden cirkel
Alle apollonske pakninger starter det samme - med en stor ydre cirkel, der fungerer som kanten af fraktalen. Der er dog ingen grund til, at din anden cirkel nødvendigvis skal have 1/2 radius af den første - vi valgte bare at gøre dette ovenfor, fordi det er enkelt og let at forstå. For sjov, prøv at starte en ny pakning med en anden cirkel af en anden størrelse - dette vil føre til spændende nye muligheder for udforskning.
